Magnetische Induktion

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetische Induktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Experimentelle Erfahrung

Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:

$\overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})$

Die sogenannte Lorentz-Kraft!

$\overline{B}(\overline{r})$ ist die magnetische Induktion am Ort $\overline{r}$, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$.

Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:

$\overline{B}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

Dies läuft völlig analog zur Coulomb-Wechselwirkung in der Elektrostatik:

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=q\overline{E}(\overline{r})\\ & \overline{E}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Die Einheiten im SI- System lauten:

$\left[B\right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{m}^2}{C{s}^2}\cdot \frac{s}{m^2}=1V\frac{s}{m^2}=1T$

Mit diesen Einheiten ist dann ${\mu }_0=1,26\cdot {10}^{-6}\frac{Vs}{Am}$ festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar!! Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:

Im Gauß System:

$\overline{F}=\frac{q}{c}\overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r})=\frac{1}{c}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \\ \end{array}$

Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:

Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:

Der Strom durch L´:

$\begin{array}{rl}& \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}=\rho d^{3}r\stackrel{´}{}\overline{v}\stackrel{´}{}=\frac{d}{dt}\rho d^{3}r\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & \frac{d}{dt}\rho d^{3}r\stackrel{´}{}=I\stackrel{´}{}\\ & \Rightarrow \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}=I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Somit folgt das Biot-Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:

Die magnetische Induktion ist gerade:

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\stackrel{´}{}\underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\stackrel{´}{}\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}\\ & \\ \end{array}$

Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:

$d\overline{F}=\rho \overline{v}\times \overline{B}(\overline{r})d^{3}r=\overline{j}\times \overline{B}{d}^{3}r=Id\overline{r}\times \overline{B}$

Also:

$\overline{F}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }II\stackrel{´}{}\underset{L}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\times \underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\stackrel{´}{}\times \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L mit

$\begin{array}{rl}& d\overline{r}\times (d\overline{r}\stackrel{´}{}\times (\overline{r}-\overline{r}))=\left(d\overline{r}(\overline{r}-\overline{r})\right)d\overline{r}\stackrel{´}{}-\left(d\overline{r}d\overline{r}\stackrel{´}{}\right)(\overline{r}-\overline{r})\\ & und\\ & \underset{L}{\overset{}{\int }}d\overline{r}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}=-{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}|}_{L-ANfang}^{L-Ende}=0\\ \end{array}$

(Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:

$\overline{F}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }II\stackrel{´}{}\underset{L}{\overset{}{\int }}\underset{L\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}\left(d\overline{r}d\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}^3}$

für parallele Ströme $Id\overline{r}I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}>0$ folgt Anziehung

für antiparallele Ströme $Id\overline{r}I\stackrel{´}{}d\overline{r}\stackrel{´}{}<0$ dagegen Abstoßung

Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:

$\begin{array}{rl}& \overline{r}\leftrightarrow \overline{r}\stackrel{´}{}\\ & d\overline{r}\leftrightarrow d\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & I\leftrightarrow I\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Somit:

$\overline{F}\leftrightarrow -\overline{F}$

(actio gleich reactio)